图
图是一种较为复杂的非线性结构。为啥说其较为复杂呢？
根据前面的内容，我们知道：
线性数据结构的元素满足唯一的线性关系，每个元素（除第一个和最后一个外）只有一个直接前趋和一个直接后继。
树形数据结构的元素之间有着明显的层次关系。
但是，图形结构的元素之间的关系是任意的。
何为图呢？ 简单来说，图就是由顶点的有穷非空集合和顶点之间的边组成的集合。通常表示为：G(V,E)，其中，G 表示一个图，V 表示顶点的集合，E 表示边的集合。
下图所展示的就是图这种数据结构，并且还是一张有向图。
图在我们日常生活中的例子很多！比如我们在社交软件上好友关系就可以用图来表示。
图的基本概念
顶点
图中的数据元素，我们称之为顶点，图至少有一个顶点（非空有穷集合）。
对应到好友关系图，每一个用户就代表一个顶点。
边
顶点之间的关系用边表示。
对应到好友关系图，两个用户是好友的话，那两者之间就存在一条边。
度
度表示一个顶点包含多少条边，在有向图中，还分为出度和入度，出度表示从该顶点出去的边的条数，入度表示进入该顶点的边的条数。
对应到好友关系图，度就代表了某个人的好友数量。
无向图和有向图
边表示的是顶点之间的关系，有的关系是双向的，比如同学关系，A 是 B 的同学，那么 B 也肯定是 A 的同学，那么在表示 A 和 B 的关系时，就不用关注方向，用不带箭头的边表示，这样的图就是无向图。
有的关系是有方向的，比如父子关系，师生关系，微博的关注关系，A 是 B 的爸爸，但 B 肯定不是 A 的爸爸，A 关注 B，B 不一定关注 A。在这种情况下，我们就用带箭头的边表示二者的关系，这样的图就是有向图。
无权图和带权图
对于一个关系，如果我们只关心关系的有无，而不关心关系有多强，那么就可以用无权图表示二者的关系。
对于一个关系，如果我们既关心关系的有无，也关心关系的强度，比如描述地图上两个城市的关系，需要用到距离，那么就用带权图来表示，带权图中的每一条边用一个数值表示权值，代表关系的强度。
下图就是一个带权有向图。
图的存储
邻接矩阵存储
邻接矩阵将图用二维矩阵存储，是一种较为直观的表示方式。
如果第 i 个顶点和第 j 个顶点之间有关系，且关系权值为 n，则 A[i][j]=n。
A[i][j]=n在无向图中，我们只关心关系的有无，所以当顶点 i 和顶点 j 有关系时，A[i][j]=1，当顶点 i 和顶点 j 没有关系时，A[i][j]=0。如下图所示：
A[i][j]A[i][j]
值得注意的是：无向图的邻接矩阵是一个对称矩阵，因为在无向图中，顶点 i 和顶点 j 有关系，则顶点 j 和顶点 i 必有关系。
邻接矩阵存储的方式优点是简单直接（直接使用一个二维数组即可），并且，在获取两个顶点之间的关系的时候也非常高效（直接获取指定位置的数组元素的值即可）。但是，这种存储方式的缺点也比较明显，那就是比较浪费空间。
邻接表存储
针对上面邻接矩阵比较浪费内存空间的问题，诞生了图的另外一种存储方法——邻接表。
邻接链表使用一个链表来存储某个顶点的所有后继相邻顶点。对于图中每个顶点 Vi，把所有邻接于 Vi 的顶点 Vj 链成一个单链表，这个单链表称为顶点 Vi 的 邻接表。如下图所示：
大家可以数一数邻接表中所存储的元素的个数以及图中边的条数，你会发现：
在无向图中，邻接表元素个数等于边的条数的两倍，如左图所示的无向图中，边的条数为 7，邻接表存储的元素个数为 14。
在有向图中，邻接表元素个数等于边的条数，如右图所示的有向图中，边的条数为 8，邻接表存储的元素个数为 8。
图的搜索
广度优先搜索
广度优先搜索就像水面上的波纹一样一层一层向外扩展，如下图所示：
广度优先搜索的具体实现方式用到了之前所学过的线性数据结构——队列。具体过程如下图所示：
第 1 步：
第 2 步：
第 3 步：
第 4 步：
第 5 步：
第 6 步：
深度优先搜索
深度优先搜索就是“一条路走到黑”，从源顶点开始，一直走到没有后继节点，才回溯到上一顶点，然后继续“一条路走到黑”，如下图所示：
和广度优先搜索类似，深度优先搜索的具体实现用到了另一种线性数据结构——栈。具体过程如下图所示：
第 1 步：
第 2 步：
第 3 步：
第 4 步：
第 5 步：
第 6 步：
面试复盘重点
图题先选存储方式，再选遍历方式。面试里最常见的 4 类图题是：连通块、最短步数、依赖关系和判环。
存储方式空间复杂度判断两点是否相邻遍历某点邻居适合场景邻接矩阵O(V^2)O(1)O(V)稠密图、节点数较少邻接表O(V + E)取决于邻接表结构和度数有关稀疏图、算法题常用
存储方式空间复杂度判断两点是否相邻遍历某点邻居适合场景
存储方式
空间复杂度
判断两点是否相邻
遍历某点邻居
适合场景
邻接矩阵O(V^2)O(1)O(V)稠密图、节点数较少
邻接矩阵
O(V^2)
O(V^2)O(1)
O(1)O(V)
O(V)稠密图、节点数较少
邻接表O(V + E)取决于邻接表结构和度数有关稀疏图、算法题常用
邻接表
O(V + E)
O(V + E)取决于邻接表结构
和度数有关
稀疏图、算法题常用
DFS/BFS 模板可以参考 DFS 与 BFS 面试题总结。这里再补几个面试回答点：
邻接表下，DFS 和 BFS 的时间复杂度通常是 O(V + E)。
O(V + E)无权图求最短步数，优先考虑 BFS。
有向图依赖关系常用拓扑排序，典型题是课程表。
无向图连通性和判环可以用 DFS/BFS，也可以用并查集。
带权最短路径不是普通 BFS，常见算法有 Dijkstra、Bellman-Ford、Floyd，面试中按题目范围选择。
Java 代码模板
算法题中最常用的是邻接表。节点编号通常是 0 到 n - 1，可以用 List<Integer>[] 表示。
0n - 1List<Integer>[]List<Integer>[] buildGraph(int n, int[][] edges) {
List<Integer>[] graph = new ArrayList[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
graph[i] = new ArrayList<>();
}
for (int[] edge : edges) {
int from = edge[0];
int to = edge[1];
graph[from].add(to);
// 无向图需要再加一条反向边：
// graph[to].add(from);
}
return graph;
}List<Integer>[] buildGraph(int n, int[][] edges) {
List<Integer>[] graph = new ArrayList[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
graph[i] = new ArrayList<>();
}
for (int[] edge : edges) {
int from = edge[0];
int to = edge[1];
graph[from].add(to);
// 无向图需要再加一条反向边：
// graph[to].add(from);
}
return graph;
}BFS 适合求无权图最短步数：
int bfs(List<Integer>[] graph, int start, int target) {
boolean[] visited = new boolean[graph.length];
Queue<Integer> queue = new ArrayDeque<>();
queue.offer(start);
visited[start] = true;
int step = 0;
while (!queue.isEmpty()) {
int size = queue.size();
for (int i = 0; i < size; i++) {
int cur = queue.poll();
if (cur == target) {
return step;
}
for (int next : graph[cur]) {
if (!visited[next]) {
visited[next] = true;
queue.offer(next);
}
}
}
step++;
}
return -1;
}int bfs(List<Integer>[] graph, int start, int target) {
boolean[] visited = new boolean[graph.length];
Queue<Integer> queue = new ArrayDeque<>();
queue.offer(start);
visited[start] = true;
int step = 0;
while (!queue.isEmpty()) {
int size = queue.size();
for (int i = 0; i < size; i++) {
int cur = queue.poll();
if (cur == target) {
return step;
}
for (int next : graph[cur]) {
if (!visited[next]) {
visited[next] = true;
queue.offer(next);
}
}
}
step++;
}
return -1;
}过程示意和边界样例
以无权图最短路径为例，BFS 的层序扩散过程可以这样理解：
第 0 层：start
第 1 层：start 的所有未访问邻居
第 2 层：第 1 层节点的所有未访问邻居
...
第一次遇到 target 时，当前层数就是最短步数第 0 层：start
第 1 层：start 的所有未访问邻居
第 2 层：第 1 层节点的所有未访问邻居
...
第一次遇到 target 时，当前层数就是最短步数几个边界样例建议先过一遍：
start == target，答案应该是 0。
start == target0图不连通，目标点不可达，答案应该是 -1。
-1无向图建图时忘记加反向边，会把连通图误判成不连通。
有环图如果不标记 visited，BFS/DFS 会重复访问甚至死循环。
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