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TBD TBD Modified June 23 1. 等效原理 万有引力定律 一个物体在空间中运动，在不受任何外力的情况下，会满足牛顿第一定律 “物体沿直线匀速运动” 而如果空间中有一个大质量的天体，物体会受到引力影响向天体方向靠近。当天体的质量大到一定程度，物体就会被天体捕获，或者坠入到天体中。 如果把物体换作一束光，在牛顿力学中，光并不会被吸引，万有引力定律基于质量才成立。 万有引力： F=G r 2 m 1 m 2 • F ：两个物体之间的引力大小 • G ：万有引力常量 • m1,m2 ：两个物体的质量 • r ：两个物体质心之间的距离 因为光子没有质量，m1xm2 =0，所以F=0 广义相对论 在广义相对论里，光子虽然没有静质量m，但仍然会受到引力场的影响。根据等效原理，引力会导致时空的扭曲，而光子理论上仍然在走“直线”，但直线所在的时空被重新定义了。 引力加速度： a=(− ∣ r ∣ 3 G⋅M r ) 速度变化（欧拉积分）： v new = v old +(− ∣ r ∣ 3 G⋅M r )⋅Δt 通过速度计算位置更新（欧拉积分）： P new = P old + v new ⋅Δt 2. 测地线和度规 零测地线 由于光在时空中走的是零测地线，速度永远等于光速，所以不需要考虑光线的加速度，只要考虑光的偏折。 一般度规 ds 2 =f(x,y)dx 2 +g(x,y)dy 2 +h(x,y)dz 2 把所有的位置变化用积分加起来， ∫ds 2 就可以知道扭曲时空中真实运动的路径长度了。 完整线元表达式为 ds 2 =g μν dx μ dx ν 3. 史瓦西度规 爱因斯坦场方程 基于一般度规演变而来的爱因斯坦场方程 R μν − 2 1 g μν R= c 4 8πG T μν • R μν ：里奇张量，描述时空体积如何因引力发生收缩与变形 • g μν ：度规张量，定义时空几何结构的基础网格与尺子 • R ：标量曲率，里奇张量的迹，对时空弯曲程度的单一数值评分 • G ：牛顿引力常数，表示时空弯曲的硬度，G 越小弯曲越难 • c ：光速，连接质量与能量的常数，确保量纲统一 • T μν ：能量 动量张量，导致时空弯曲的物质、能量、压强与动量总和 等式左边代表时空几何，右边代表能量分布 施瓦西度规 由此引出的施瓦西度规 ds 2 =−(1− r r s )c 2 dt 2 +(1− r r s ) −1 dr 2 +r 2 (dθ 2 +sin 2 θdϕ 2 ) • r s ：施瓦西半径（Schwarzschild radius）, r s = c 2 2GM • r ：径向坐标 • t ：时间坐标 • θ,ϕ ：球坐标的角度部分 • c ：光速 施瓦西度规用于描述： • 非旋转黑洞外部的时空 • 恒星、行星等球对称天体周围的引力场 • 是爱因斯坦场方程的真空解 用施瓦西度规张量的矩阵，描述球对称质量周围时空的几何结构，和之前的线元表达式 ds 2 =g μν dx μ dx ν 对应。 g μν = ⎝ ⎛ g tt 0 0 0 0 g rr 0 0 0 0 g θθ 0 0 0 0 g ϕϕ ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ −(1− r r s )c 2 0 0 0 0 (1− r r s ) −1 0 0 0 0 r 2 0 0 0 0 r 2 sin 2 θ ⎠ ⎞ 能量守恒（动能=势能）： 2 1 mv 2 = r GMm 逃逸速度： v= r 2GM 当 v=c（光速）:c= r 2GM ⟹c 2 = r 2GM 施瓦西半径 r s = c 2 2GM ，这个半径就定义了黑洞的事件视界， r s 范围内的时空被无限拉长，光是无法逃逸的。 4. 光的偏折 利用测地线方程计算扭曲时空中粒子的运动轨迹 dλ 2 d 2 x μ +Γ αβ μ dλ dx α dλ dx β =0 • x μ ：时空坐标 • λ ：仿射参数（affine parameter），沿测地线的参数 • Γ αβ μ ：克里斯托费尔符号（Christoffel symbols），描述时空的联络 根据最小作用原理，推导出欧拉 拉格朗日方程 dλ d ( ∂ x ˙ μ ∂L )= ∂x μ ∂L • L ：拉格朗日量（Lagrangian） 能量守恒方程： (1− r 2M ) t ˙ =E 角动量守恒方程： r 2 ϕ ˙ =L 1. 等效原理 万有引力定律 一个物体在空间中运动，在不受任何外力的情况下，会满足牛顿第一定律 “物体沿直线匀速运动” 而如果空间中有一个大质量的天体，物体会受到引力影响向天体方向靠近。当天体的质量大到一定程度，物体就会被天体捕获，或者坠入到天体中。 如果把物体换作一束光，在牛顿力学中，光并不会被吸引，万有引力定律基于质量才成立。 万有引力： F=G r 2 m 1 m 2 • F ：两个物体之间的引力大小 • G ：万有引力常量 • m1,m2 ：两个物体的质量 • r ：两个物体质心之间的距离 因为光子没有质量，m1xm2 =0，所以F=0 广义相对论 在广义相对论里，光子虽然没有静质量m，但仍然会受到引力场的影响。根据等效原理，引力会导致时空的扭曲，而光子理论上仍然在走“直线”，但直线所在的时空被重新定义了。 引力加速度： a=(− ∣ r ∣ 3 G⋅M r ) 速度变化（欧拉积分）： v new = v old +(− ∣ r ∣ 3 G⋅M r )⋅Δt 通过速度计算位置更新（欧拉积分）： P new = P old + v new ⋅Δt 2. 测地线和度规 零测地线 由于光在时空中走的是零测地线，速度永远等于光速，所以不需要考虑光线的加速度，只要考虑光的偏折。 一般度规 ds 2 =f(x,y)dx 2 +g(x,y)dy 2 +h(x,y)dz 2 把所有的位置变化用积分加起来， ∫ds 2 就可以知道扭曲时空中真实运动的路径长度了。 完整线元表达式为 ds 2 =g μν dx μ dx ν 3. 史瓦西度规 爱因斯坦场方程 基于一般度规演变而来的爱因斯坦场方程 R μν − 2 1 g μν R= c 4 8πG T μν • R μν ：里奇张量，描述时空体积如何因引力发生收缩与变形 • g μν ：度规张量，定义时空几何结构的基础网格与尺子 • R ：标量曲率，里奇张量的迹，对时空弯曲程度的单一数值评分 • G ：牛顿引力常数，表示时空弯曲的硬度，G 越小弯曲越难 • c ：光速，连接质量与能量的常数，确保量纲统一 • T μν ：能量 动量张量，导致时空弯曲的物质、能量、压强与动量总和 等式左边代表时空几何，右边代表能量分布 施瓦西度规 由此引出的施瓦西度规 ds 2 =−(1− r r s )c 2 dt 2 +(1− r r s ) −1 dr 2 +r 2 (dθ 2 +sin 2 θdϕ 2 ) • r s ：施瓦西半径（Schwarzschild radius）, r s = c 2 2GM • r ：径向坐标 • t ：时间坐标 • θ,ϕ ：球坐标的角度部分 • c ：光速 施瓦西度规用于描述： • 非旋转黑洞外部的时空 • 恒星、行星等球对称天体周围的引力场 • 是爱因斯坦场方程的真空解 用施瓦西度规张量的矩阵，描述球对称质量周围时空的几何结构，和之前的线元表达式 ds 2 =g μν dx μ dx ν 对应。 g μν = ⎝ ⎛ g tt 0 0 0 0 g rr 0 0 0 0 g θθ 0 0 0 0 g ϕϕ ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ −(1− r r s )c 2 0 0 0 0 (1− r r s ) −1 0 0 0 0 r 2 0 0 0 0 r 2 sin 2 θ ⎠ ⎞ 能量守恒（动能=势能）： 2 1 mv 2 = r GMm 逃逸速度： v= r 2GM 当 v=c（光速）:c= r 2GM ⟹c 2 = r 2GM 施瓦西半径 r s = c 2 2GM ，这个半径就定义了黑洞的事件视界， r s 范围内的时空被无限拉长，光是无法逃逸的。 4. 光的偏折 利用测地线方程计算扭曲时空中粒子的运动轨迹 dλ 2 d 2 x μ +Γ αβ μ dλ dx α dλ dx β =0 • x μ ：时空坐标 • λ ：仿射参数（affine parameter），沿测地线的参数 • Γ αβ μ ：克里斯托费尔符号（Christoffel symbols），描述时空的联络 根据最小作用原理，推导出欧拉 拉格朗日方程 dλ d ( ∂ x ˙ μ ∂L )= ∂x μ ∂L • L ：拉格朗日量（Lagrangian） 能量守恒方程： (1− r 2M ) t ˙ =E 角动量守恒方程： r 2 ϕ ˙ =L