[基础科学] Deep Research - 量子场论研究

[基础科学] Deep Research 量子场论研究 [基础科学] Deep Research 量子场论研究 Modified August 4, 2025 1021 1089 Audio or video is not supported Please download the file and open it with the appropriate software. Figure 1 2025 03 20 18 34 22.mp4 · 7.49MB Figure 1 2025 03 20 18 34 22 00:00 The damaged or encrypted file cannot be previewed. Please download it to local device. 费曼图粒子模拟.py · 13.12KB 费曼图粒子模拟.py 根据正则对易关系推导的期望，$[a {\mathbf{k}}, a {\mathbf{k}'}^\dagger]$应为$i\hbar$乘上一些条件使之成为$\delta^3$，而$a,a$或$a^\dagger,a^\dagger$之间对易为0。因此非零部分只来自$[a {\mathbf{k}}, a {\mathbf{k}'}^\dagger]$。要求等式右边为$i\hbar \delta^3(\mathbf{x} \mathbf{y}) = \frac{i\hbar}{V}\sum {\mathbf{q}} e^{i\mathbf{q}\cdot(\mathbf{x} \mathbf{y})}$。将上式与右边比较，可得到： [ak,ak′†]=ℏδk,k′ ,[a {\mathbf{k}}, a {\mathbf{k}'}^\dagger] = \hbar \delta {\mathbf{k},\mathbf{k}'} ,[ak,ak′†]=ℏδk,k′ , 或在连续规范归一化时$[a(\mathbf{k}), a^\dagger(\mathbf{k}')] = (2\pi)^3\hbar,\delta^3(\mathbf{k} \mathbf{k}')$。 这正是产生/湮灭算符的对易关系：$a {\mathbf{k}} a {\mathbf{k}'}^\dagger a {\mathbf{k}'}^\dagger a {\mathbf{k}} = \hbar \delta {\mathbf{k}\mathbf{k}'}$。通常我们在自然单位下取$\hbar=1$，并吸收$(2\pi)^3$惯例使$[a(\mathbf{k}), a^\dagger(\mathbf{k}')] = \delta^3(\mathbf{k} \mathbf{k}')$。以上验证说明场的正则对易和模态算符的对易是一致的。 物理意义： • a k † ：在具有动量$\mathbf{k}$的模式上创造一个粒子。对易关系表明创造和湮灭算符彼此为共轭，且一次创造和一次湮灭不分先后顺序之差产生一个Kronecker delta，这恰确保一个粒子存在与否的二值性和数目守恒的离散性。 • a k ：湮灭一个动量$\mathbf{k}$的粒子。$[a, a^\dagger]$的右边是$\delta {\mathbf{k}\mathbf{k}'}$，表示只有相同动量模式的创造湮灭相互作用，符合动量守恒要求，不同模态算符独立。 • 对于玻色子，算符对易正号表明$[N, a^\dagger] = a^\dagger$（其中$N=\sum a^\dagger a$），$a^\dagger$提高粒子数1，不受限制地重复执行，允许任意粒子聚居在同一模态（玻色 爱因斯坦统计）。 • δ 3 (x−y) 出现在$[\phi,\pi]$中说明场在不同空间点的自由度是独立的（对易为零），在同一点的场和其共轭量有固定归一关系，这和有限自由度力学的$q,p$对易类似，只不过变成了$\delta$函数形式连续化。 这个练习说明了如何从场的算符建立Fock空间：真空态$|0\rangle$定义为$a {\mathbf{k}}|0\rangle=0$；$a {\mathbf{k}}^\dagger|0\rangle$产生一粒子态$|\mathbf{k}\rangle$且$N|\mathbf{k}\rangle=1$；重复作用得到多粒子态。对易关系确保了这些态构成Hilbert空间的正交基和标准归一化。这正是量子场论粒子观的基础。 练习4：简单的QED散射振幅计算 题目：考虑电子与光子的弹性散射（康普顿散射）的最低阶过程，其费曼图包括两个图：光子先后与电子入射/出射腿相互作用（$s$道和$u$道）。请写出对应的散射振幅公式，并解释各因子的来源。 解答：康普顿散射 $e^ (p 1) + \gamma(k 1) \to e^ (p 2) + \gamma(k 2)$有两个最低阶费曼图： 33463. s 道图：初态电子（动量$p 1$）吸收初态光子（$k 1,\mu$极化），成为虚电子（$p 1+k 1$），再发射末态光子（$k 2,\nu$极化）变为末态电子（$p 2$）。振幅： Ms=uˉ(p2)(−ieγν)i(\slashedp1+\slashedk1+m)(p1+k1)2−m2+iϵ(−ieγμ)u(p1) ϵν∗(k2) ϵμ(k1) .\mathcal{M} s = \bar{u}(p 2) \left( ie \gamma^\nu \right) \frac{i(\slashed{p} 1 + \slashed{k} 1 + m)}{(p 1+k 1)^2 m^2 + i\epsilon} \left( ie \gamma^\mu \right) u(p 1) \, \epsilon \nu^ (k 2)\,\epsilon \mu(k 1) .Ms=uˉ(p2)(−ieγν)(p1+k1)2−m2+iϵi(\slashedp1+\slashedk1+m)(−ieγμ)u(p1)ϵν∗(k2)ϵμ(k1) . 解释：$\bar{u}(p 2)( ie\gamma^\nu)u$来源于电子发射光子顶点，$\gamma^\nu$带着末态光子$\nu$极化指标；传播子$\frac{i(\slashed{p}1+\slashed{k}1+m)}{(p 1+k 1)^2 m^2}$表示虚电子；再乘入初态顶点$( ie\gamma^\mu)$和初态旋量。光子极化矢量$\epsilon\mu(k 1)$和$\epsilon\nu^ (k 2)$确保对外光子极化求和。两个顶点各提供一个$ ie$（因费曼规则 en.wikipedia.org ），两个$\gamma$矩阵收缩传播子分子式，$i$来自传播子，整体有$( ie)^2 i = ie^2$乘上矩阵元素。 2. u 道图：初态电子先发射末态光子，然后吸收初态光子。对应虚电子四动量$p 1 k 2$。振幅： Mu=uˉ(p2)(−ieγμ)i(\slashedp1−\slashedk2+m)(p1−k2)2−m2+iϵ(−ieγν)u(p1) ϵν∗(k2) ϵμ(k1) .\mathcal{M} u = \bar{u}(p 2) \left( ie \gamma^\mu \right) \frac{i(\slashed{p} 1 \slashed{k} 2 + m)}{(p 1 k 2)^2 m^2 + i\epsilon} \left( ie \gamma^\nu \right) u(p 1) \, \epsilon \nu^ (k 2)\,\epsilon \mu(k 1) .Mu=uˉ(p2)(−ieγμ)(p1−k2)2−m2+iϵi(\slashedp1−\slashedk2+m)(−ieγν)u(p1)ϵν∗(k2)ϵμ(k1) . 这里$\gamma^\mu$顶点现在对应发射$k 2$光子在前，$\gamma^\nu$顶点后，对应吸收$k 1$光子，传播子动量改变，相应的分母为$(p 1 k 2)^2 m^2$。 3. 总振幅$\mathcal{M} = \mathcal{M} s + \mathcal{M} u$（电子是同粒子，两个图符号相加而无减号，因为入射有光子区别）。 每个符号意义： • u ˉ (p 2 ) 和$u(p 1)$：分别是末态和初态电子的自旋波函数（Dirac旋量），携带自旋信息和规范化。 • γ μ ,γ ν ：来自顶点的狄拉克矩阵，负责洛伦兹指标连接光子极化和电子线；指标$\mu,\nu$对应吸收和发射的光子。 • ϵ μ (k 1 ),ϵ ν ∗ (k 2 ) ：初始光子$\mu$极化矢量，末态光子$\nu$极化矢量的共轭。实际计算截面时需对此求和取平均。 • Invalid equation ：表示虚电子线的分子，等于$\gamma\cdot(p 1+k 1)+m$；$(p 1+k 1)^2 m^2$是传播子分母，等于$s m^2$ ($s$道不变质)。 • 整个$\mathcal{M}$在规范理论下满足Ward恒等式，可验证外光子$\epsilon$替换为$k$会令$\mathcal{M}=0$，这体现电荷守恒。 • 两图结构相似，只是交换了光子腿次序，对应Klein Nishina公式两个加项。最后计算微分截面需要$|\mathcal{M}|^2$并平均初态自旋、求和末态自旋极化。 通过这个练习，我们实践了费曼规则在具体反应中的应用。各因子来源总结： • 旋量 $\bar{u}, u$：外线费米子。 • 极化矢量 $\epsilon$：外线光子。 • γ 矩阵和 −ie ：光子 电子顶点。 • 传播子 $i(\slashed{p}+m)/D$：内部电子传递。 • δ 函数隐含：动量守恒在每顶点自动保证，两个顶点确保$p 1+k 1 = p 2+k 2$整体四动量守恒。 • 叠加：因为初末态相同粒子存在两条不同拓扑路径，必须将振幅相干相加导致干涉，这里没有相对负号是因为交换两个末态光子不同粒子不需费米符号。 总之，这一振幅公式展示了量子场论如何以费曼图简化复杂过程计算：每个物理过程元素对应简单代数块，组合起来就是整幅图振幅。计算这样的振幅然后平方和相空间积分，即可得到康普顿散射截面的Klein Nishina公式，实现从基础理论到可观测量的联系。 5. 学习资源推荐 量子场论内容博大精深，自学过程中选择合适的教材和资料非常重要。以下是针对初学者的推荐资源，包括书籍、讲义、课程和经典论文： 书籍： • 《An Introduction to Quantum Field Theory》 – Peskin & Schroeder著。这是粒子物理领域经典教材，全面覆盖了量子场论微扰论、重整化和标准模型 • zh.wikipedia.org • 。虽然内容深入，但配有大量例子和练习，适合已有量子力学基础的读者循序渐进学习。 • 《Quantum Field Theory in a Nutshell》 – A. Zee著。风格活泼，以物理图像和类比见长，涵盖基本概念、计算技巧还有许多趣味故事，非常适合自学入门者在正式教材外搭配阅读。 • 《量子场论教程》（Mandl & Shaw著）– 中文译本可参考此书。内容浅显易懂，重点在QED，推导详略得当，计算部分适中，是入门计算练习的理想教材。 • 《Quantum Field Theory for the Gifted Amateur》 – Lancaster & Blundell著。针对自学者写的教材，注重逐步讲解，包含丰富的例题和直观说明。 • 进阶阅读可考虑 《Quantum Field Theory》 – Mark Srednicki著（章节清晰独立，包含许多练习）、 《The Quantum Theory of Fields》 三卷本 – Weinberg著（更理论化，偏重基本原理推导）。 在线讲义和视频课程： • David Tong教授的量子场论讲义 – 剑桥大学提供的免费讲义 • knzhou.github.io • 。内容条理清晰，从经典场论讲到重整化群，穿插物理解释。配套还有习题和解答提示，非常适合自学。 • MIT开放课件 8.323《量子场论 I》 – 包含详细的讲义笔记和若干视频，可跟随名校课程节奏学习理论推导和案例。 • 斯坦福大学的 Leonard Susskind QFT课程 – 可在YouTube找到视频。Susskind善于通俗解释复杂概念，通过系列讲座逐步讲解路径积分、费曼图等。 • 清华大学姚裕贵教授的场论课程（bilibili等平台可能有录播）– 中文授课，深入浅出，包含一些计算示范，对母语学习者友好。 • 另外可以留意中科院理论物理和Perimeter学院等机构提供的网络讲座或暑期课程资料。 学术论文和深入阅读材料： • P.A.M. Dirac (1928), “The quantum theory of the electron” – 狄拉克经典论文，详细阐述了狄拉克方程的缘起 • aps.org • 。虽然篇章老式，但可从中感受理论发展的逻辑。 • S. Tomonaga, J. Schwinger, R. Feynman (1948 49) 等关于QED重整化的论文 – 这些诺奖级论文展示了现代微扰论和费曼图方法的诞生，阅读其原始片段有助于理解理论背景。 • Yang, C.N. & Mills, R.L. (1954), “Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance” – 规范场论奠基石，引入非Abel规范场 • cpsjournals.cn • 。此文较技术，但核心思想值得理解。 • Higgs, Englert等 (1964) 关于自发对称破缺的论文 – 几篇短论文描述了Higgs机制如何产生规范场质量，是标准模型电弱对称破缺部分的基础。 • Casimir, H.B.G. (1948), “On the Attraction Between Two Perfectly Conducting Plates” – Casimir效应原始论文，计算了真空零点能导致的力；及 T.D. Lee (1988), “Vacuum Polarization” 等关于真空性质的综述论文，可加深对量子真空现象（如真空极化、虚粒子）的理解。 其他资源： • 论坛和问答：如Physics StackExchange上很多关于场论的高质量问答讨论 • physics.stackexchange.com • ；Zhihu上也有科普文章和答疑可以参考（注意辨别准确性）。 • 习题集和解答：建议尝试Peskin书后习题、MIT讲义习题等，可以在网上找到部分题解，与自己的推导比对。 • 计算工具：学习使用Mathematica或Python的Sympy进行简单费曼图符号计算，也是理解计算细节的有效方式。 综上，这些资源相辅相成：教材提供系统框架，讲义和视频加强理解，论文让你体会原始理论思路。自学时要注重多做练习题，这是掌握量子场论唯一路径。初学者可能会觉得概念抽象、符号繁琐，但通过不断阅读不同材料并亲手推导关键步骤，将逐步建立清晰的物理图像和计算技能。 6. 实例解析 在本节，我们结合具体物理实例，加深对量子场论理论的理解。这些实例涵盖了量子电动力学中的基本概念、电子 光子相互作用的例子，以及著名的量子效应如Casimir效应和真空极化。 6.1 量子电动力学（QED）的基本概念 量子电动力学是描述电磁相互作用的量子场论，是量子场论最成熟也最精确的理论之一。QED将经典电动力学的电场、磁场提升为量子光子场，将电子等带电费米子描述为狄拉克场，并通过$U(1)$规范原理得到相互作用。几个基本概念： • 光子场：记作$A \mu(x)$，为$U(1)$规范场，携带电磁相互作用。光子的量子是无质量、自旋1玻色子，电荷为0。光场的激发就是光子。光子充当带电粒子之间力的媒介，其存在导致库伦定律在量子层面可以理解为粒子交换光子而产生作用。 • 电子场：记作$\psi(x)$，为自旋1/2的Dirac费米场，对应电子和正电子。电子有电荷$ e$，其反粒子正电子电荷$+e$。电子场的自由方程是狄拉克方程$(i\gamma^\mu\partial \mu m e)\psi=0$。 • 耦合常数：电磁相互作用强度由电荷$e$决定。实际上常用$\alpha = \frac{e^2}{4\pi\hbar c} \approx 1/137$作为无量纲精细结构常数表征相互作用强度。$\alpha$小意味着QED可用微扰论非常精确地计算。 QED的拉格朗日密度： LQED=−14FμνFμν+ψˉ(iγμDμ−m)ψ ,\mathcal{L} {\text{QED}} = \frac{1}{4}F {\mu\nu}F^{\mu\nu} + \bar{\psi}(i\gamma^\mu D \mu m)\psi ,LQED=−41FμνFμν+ψˉ(iγμDμ−m)ψ , 其中$F {\mu\nu} = \partial \mu A \nu \partial \nu A \mu$，$D \mu = \partial \mu + ieA \mu$。从中可以读出： • 光子自由场项 $ \frac{1}{4}F^2$，导出光子传播子以及光子的波动方程$\partial \mu F^{\mu\nu}=0$（在洛伦兹规范下）。 • 电子Dirac项 $\bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial \mu m)\psi$，导出电子传播和狄拉克方程。 • 相互作用项 $ie\bar{\psi}\gamma^\mu \psi A \mu$（来自$\bar{\psi}i\gamma^\mu ieA \mu\psi$），这正是电子电流与电磁场的耦合。它意味着每当带电费米子场出现弯折（两条费米子线）结合一条光子线，就有一个顶点因子$ ie\gamma^\mu$ • en.wikipedia.org • 。 QED具有几个重要性质： • 重整化：QED是可重整的，尽管在高阶计算会出现无限量，但可以通过电荷和质量的重整化吸收。实际上QED开创了重整化技术，计算出电子反常磁矩等精密量与实验符合到$10^{ 12}$量级 • thepaper.cn • 。 • 对称性：QED有$U(1)$规范对称性对应电荷守恒；有P,C不守恒单独但守恒CP和T等。光子是Coddling有效的相对论规范场的典范。 • 实际应用：除粒子物理外，QED也应用于原子物理（解释精细结构、Lamb位移），量子光学（光与物质相互作用），凝聚态（电子 电磁互作用导致的辐射过程）。 • 高阶效应：如真空极化和自能。真空极化指虚电子 正电子对在光子传播中出现，使库仑势在短程有微修正，导致氢原子2S 2P能级差（Lamb移位）被解释 • physics.stackexchange.com • 。自能则是电子由于与自身电磁场相互作用，质量和能级发生修正。这些效应都是QED成功解释的量子校正。 一个惊人的事实是，QED是“迄今验证最精确的科学理论”，某些量例如电子的磁矩，理论预测与实验符合到12位有效数字 thepaper.cn 。例如电子磁矩的理论预测$a e = \frac{\alpha}{2\pi} + \dots$（Schwinger1948首算出$\alpha/(2\pi)\approx 0.00116$），现代包含数千阶图计算，结果与实验吻合在$10^{ 12}$水平。这种精度使QED成为量子场论的典范。 6.2 电子 光子的相互作用示例 Compton散射是电子与光子相互作用的经典例子。如前练习4所述，这是一个二阶（两顶点）过程：初态光子被电子吸收，随后电子发射一个光子。用费曼图描绘，为两个图相加的机制（$s$道和$u$道），最终给出Klein Nishina公式描述光子散射截面随角度和频率的分布。这一散射验证了光子粒子性和动量传递规律。 在量子场论图像下，Compton散射按以下步骤理解： 40056. 初始态：电子和光子。电子以4 动量$p 1=(E 1,\mathbf{p 1})$，光子4 动量$k 1=(\omega 1,\mathbf{k 1})$。 40057. 顶点交互：电子吸收光子$k 1$。顶点处守恒4 动量$p 1 + k 1 = p^ $（虚电子）。 40058. 传播：虚电子携带$p^ $在内部传播。一瞬后，它以另一个顶点发射一光子$k 2$，自身变为末态电子$p 2$。 40059. 末态：电子$p 2=(E 2,\mathbf{p 2})$和散射出的光子$k 2=(\omega 2,\mathbf{k 2})$。4 动量守恒要求$p 1 + k 1 = p 2 + k 2$。 40060. 振幅：由两条图贡献相加，包含电子自旋和光子极化的所有细节。计算所得微分截面与康普顿实验符合，非常成功地解释了光子的频率变化（康普顿波长移）。 40061. 物理意义：康普顿效应表明光子碰撞电子会损失能量（波长加长），正是动量能量守恒在相对论下的体现。QED计算再现了这一结论，并给出了精确角分布。 另一个交互例子：电子 正电子湮灭。$e^ + e^+ \to \gamma + \gamma$，这是由$e^ $和$e^+$在一个顶点湮灭成虚光子，然后虚光子裂变成两个光子的过程（或者理解为$s$道：$e^ e^+$先形成虚态，然后经过两光子末态）。此过程的费曼图有一类，但因初态是费米子对，相应的振幅需要考虑两种排列（$t$,$u$道对称）。计算得到的结果满足角度分布$\propto 1+\cos^2\theta$，这与实验正好吻合（这是因为纯QED相互作用产生两光子在树级没有偏向消光项）。 en.wikipedia.org zh.wikipedia.org knzhou.github.io aps.org cpsjournals.cn physics.stackexchange.com en.wikipedia.org thepaper.cn physics.stackexchange.com thepaper.cn Audio or video is not supported Please download the file and open it with the appropriate software. Figure 1 2025 03 20 18 34 22.mp4 · 7.49MB Figure 1 2025 03 20 18 34 22 00:00 Audio or video is not supported Please download the file and open it with the appropriate software. Figure 1 2025 03 20 18 34 22.mp4 · 7.49MB Figure 1 2025 03 20 18 34 22 00:00 The damaged or encrypted file cannot be previewed. Please download it to local device. 费曼图粒子模拟.py · 13.12KB 费曼图粒子模拟.py The damaged or encrypted file cannot be previewed. Please download it to local device. 费曼图粒子模拟.py · 13.12KB 费曼图粒子模拟.py 根据正则对易关系推导的期望，$[a {\mathbf{k}}, a {\mathbf{k}'}^\dagger]$应为$i\hbar$乘上一些条件使之成为$\delta^3$，而$a,a$或$a^\dagger,a^\dagger$之间对易为0。因此非零部分只来自$[a {\mathbf{k}}, a {\mathbf{k}'}^\dagger]$。要求等式右边为$i\hbar \delta^3(\mathbf{x} \mathbf{y}) = \frac{i\hbar}{V}\sum {\mathbf{q}} e^{i\mathbf{q}\cdot(\mathbf{x} \mathbf{y})}$。将上式与右边比较，可得到： [ak,ak′†]=ℏδk,k′ ,[a {\mathbf{k}}, a {\mathbf{k}'}^\dagger] = \hbar \delta {\mathbf{k},\mathbf{k}'} ,[ak,ak′†]=ℏδk,k′ , 或在连续规范归一化时$[a(\mathbf{k}), a^\dagger(\mathbf{k}')] = (2\pi)^3\hbar,\delta^3(\mathbf{k} \mathbf{k}')$。 这正是产生/湮灭算符的对易关系：$a {\mathbf{k}} a {\mathbf{k}'}^\dagger a {\mathbf{k}'}^\dagger a {\mathbf{k}} = \hbar \delta {\mathbf{k}\mathbf{k}'}$。通常我们在自然单位下取$\hbar=1$，并吸收$(2\pi)^3$惯例使$[a(\mathbf{k}), a^\dagger(\mathbf{k}')] = \delta^3(\mathbf{k} \mathbf{k}')$。以上验证说明场的正则对易和模态算符的对易是一致的。 物理意义： • a k † ：在具有动量$\mathbf{k}$的模式上创造一个粒子。对易关系表明创造和湮灭算符彼此为共轭，且一次创造和一次湮灭不分先后顺序之差产生一个Kronecker delta，这恰确保一个粒子存在与否的二值性和数目守恒的离散性。 • a k ：湮灭一个动量$\mathbf{k}$的粒子。$[a, a^\dagger]$的右边是$\delta {\mathbf{k}\mathbf{k}'}$，表示只有相同动量模式的创造湮灭相互作用，符合动量守恒要求，不同模态算符独立。 • 对于玻色子，算符对易正号表明$[N, a^\dagger] = a^\dagger$（其中$N=\sum a^\dagger a$），$a^\dagger$提高粒子数1，不受限制地重复执行，允许任意粒子聚居在同一模态（玻色 爱因斯坦统计）。 • δ 3 (x−y) 出现在$[\phi,\pi]$中说明场在不同空间点的自由度是独立的（对易为零），在同一点的场和其共轭量有固定归一关系，这和有限自由度力学的$q,p$对易类似，只不过变成了$\delta$函数形式连续化。 这个练习说明了如何从场的算符建立Fock空间：真空态$|0\rangle$定义为$a {\mathbf{k}}|0\rangle=0$；$a {\mathbf{k}}^\dagger|0\rangle$产生一粒子态$|\mathbf{k}\rangle$且$N|\mathbf{k}\rangle=1$；重复作用得到多粒子态。对易关系确保了这些态构成Hilbert空间的正交基和标准归一化。这正是量子场论粒子观的基础。 练习4：简单的QED散射振幅计算 题目：考虑电子与光子的弹性散射（康普顿散射）的最低阶过程，其费曼图包括两个图：光子先后与电子入射/出射腿相互作用（$s$道和$u$道）。请写出对应的散射振幅公式，并解释各因子的来源。 解答：康普顿散射 $e^ (p 1) + \gamma(k 1) \to e^ (p 2) + \gamma(k 2)$有两个最低阶费曼图： 33463. s 道图：初态电子（动量$p 1$）吸收初态光子（$k 1,\mu$极化），成为虚电子（$p 1+k 1$），再发射末态光子（$k 2,\nu$极化）变为末态电子（$p 2$）。振幅： Ms=uˉ(p2)(−ieγν)i(\slashedp1+\slashedk1+m)(p1+k1)2−m2+iϵ(−ieγμ)u(p1) ϵν∗(k2) ϵμ(k1) .\mathcal{M} s = \bar{u}(p 2) \left( ie \gamma^\nu \right) \frac{i(\slashed{p} 1 + \slashed{k} 1 + m)}{(p 1+k 1)^2 m^2 + i\epsilon} \left( ie \gamma^\mu \right) u(p 1) \, \epsilon \nu^ (k 2)\,\epsilon \mu(k 1) .Ms=uˉ(