图详解（DFS、BFS、最短路径）

图是一种较为复杂的非线性结构。 为啥说其较为复杂呢？ 根据前面的内容，我们知道： 线性数据结构的元素满足唯一的线性关系，每个元素（除第一个和最后一个外）只有一个直接前趋和一个直接后继。 树形数据结构的元素之间有着明显的层次关系。 但是，图形结构的元素之间的关系是任意的。 何为图呢？ 简单来说，图就是由顶点的有穷非空集合和顶点之间的边组成的集合。通常表示为： G(V,E) ，其中，G 表示一个图，V 表示顶点的集合，E 表示边的集合。 下图所展示的就是图这种数据结构，并且还是一张有向图。 图在我们日常生活中的例子很多！比如我们在社交软件上好友关系就可以用图来表示。 图的基本概念 顶点 图中的数据元素，我们称之为顶点，图至少有一个顶点（非空有穷集合）。 对应到好友关系图，每一个用户就代表一个顶点。 边 顶点之间的关系用边表示。 对应到好友关系图，两个用户是好友的话，那两者之间就存在一条边。 度 度表示一个顶点包含多少条边，在有向图中，还分为出度和入度，出度表示从该顶点出去的边的条数，入度表示进入该顶点的边的条数。 对应到好友关系图，度就代表了某个人的好友数量。 无向图和有向图 边表示的是顶点之间的关系，有的关系是双向的，比如同学关系，A 是 B 的同学，那么 B 也肯定是 A 的同学，那么在表示 A 和 B 的关系时，就不用关注方向，用不带箭头的边表示，这样的图就是无向图。 有的关系是有方向的，比如父子关系，师生关系，微博的关注关系，A 是 B 的爸爸，但 B 肯定不是 A 的爸爸，A 关注 B，B 不一定关注 A。在这种情况下，我们就用带箭头的边表示二者的关系，这样的图就是有向图。 无权图和带权图 对于一个关系，如果我们只关心关系的有无，而不关心关系有多强，那么就可以用无权图表示二者的关系。 对于一个关系，如果我们既关心关系的有无，也关心关系的强度，比如描述地图上两个城市的关系，需要用到距离，那么就用带权图来表示，带权图中的每一条边用一个数值表示权值，代表关系的强度。 下图就是一个带权有向图。 图的存储 邻接矩阵存储 邻接矩阵将图用二维矩阵存储，是一种较为直观的表示方式。 如果第 i 个顶点和第 j 个顶点之间有关系，且关系权值为 n，则 。 在无向图中，我们只关心关系的有无，所以当顶点 i 和顶点 j 有关系时， =1，当顶点 i 和顶点 j 没有关系时， =0。如下图所示： 值得注意的是： 无向图的邻接矩阵是一个对称矩阵，因为在无向图中，顶点 i 和顶点 j 有关系，则顶点 j 和顶点 i 必有关系。 邻接矩阵存储的方式优点是简单直接（直接使用一个二维数组即可），并且，在获取两个顶点之间的关系的时候也非常高效（直接获取指定位置的数组元素的值即可）。但是，这种存储方式的缺点也比较明显，那就是比较浪费空间。 邻接表存储 针对上面邻接矩阵比较浪费内存空间的问题，诞生了图的另外一种存储方法—— 邻接表 。 邻接链表使用一个链表来存储某个顶点的所有后继相邻顶点。对于图中每个顶点 Vi，把所有邻接于 Vi 的顶点 Vj 链成一个单链表，这个单链表称为顶点 Vi 的 邻接表 。如下图所示： 大家可以数一数邻接表中所存储的元素的个数以及图中边的条数，你会发现： 在无向图中，邻接表元素个数等于边的条数的两倍，如左图所示的无向图中，边的条数为 7，邻接表存储的元素个数为 14。 在有向图中，邻接表元素个数等于边的条数，如右图所示的有向图中，边的条数为 8，邻接表存储的元素个数为 8。 图的搜索 广度优先搜索 广度优先搜索就像水面上的波纹一样一层一层向外扩展，如下图所示： 广度优先搜索的具体实现方式用到了之前所学过的线性数据结构——队列 。具体过程如下图所示： 第 1 步： 第 2 步： 第 3 步： 第 4 步： 第 5 步： 第 6 步： 深度优先搜索 深度优先搜索就是“一条路走到黑”，从源顶点开始，一直走到没有后继节点，才回溯到上一顶点，然后继续“一条路走到黑”，如下图所示： 和广度优先搜索类似，深度优先搜索的具体实现用到了另一种线性数据结构——栈 。具体过程如下图所示： 第 1 步： 第 2 步： 第 3 步： 第 4 步： 第 5 步： 第 6 步： 面试复盘重点 图题先选存储方式，再选遍历方式。面试里最常见的 4 类图题是：连通块、最短步数、依赖关系和判环。 | 存储方式 | 空间复杂度 | 判断两点是否相邻 | 遍历某点邻居 | 适合场景 | | | | | | | | 邻接矩阵 | | | | 稠密图、节点数较少 | | 邻接表 | | 取决于邻接表结构 | 和度数有关 | 稀疏图、算法题常用 | DFS/BFS 模板可以参考 DFS 与 BFS 面试题总结。这里再补几个面试回答点： 邻接表下，DFS 和 BFS 的时间复杂度通常是 。 无权图求最短步数，优先考虑 BFS。 有向图依赖关系常用拓扑排序，典型题是课程表。 无向图连通性和判环可以用 DFS/BFS，也可以用并查集。 带权最短路径不是普通 BFS，常见算法有 Dijkstra、Bellman Ford、Floyd，面试中按题目范围选择。 Java 代码模板 算法题中最常用的是邻接表。节点编号通常是 到 ，可以用 表示。 BFS 适合求无权图最短步数： 过程示意和边界样例 以无权图最短路径为例，BFS 的层序扩散过程可以这样理解： 几个边界样例建议先过一遍： ，答案应该是 。 图不连通，目标点不可达，答案应该是 。 无向图建图时忘记加反向边，会把连通图误判成不连通。 有环图如果不标记 ，BFS/DFS 会重复访问甚至死循环。 推荐练习题 200. 岛屿数量 695. 岛屿的最大面积 994. 腐烂的橘子 207. 课程表 547. 省份数量 写在最后 如果内容对你有帮助的话，欢迎顺手给 JavaGuide 点一个免费的 Star 支持一下：GitHub | Gitee。 JavaGuide 已持续维护近七年，累计 6100+ 次提交，来自 620+ 位贡献者共同完善。你的 Star、反馈和 PR，都是这个项目继续更新的动力。 如果你正在准备后端/AI 应用开发面试，也可以了解一下我的知识星球，里面包括后端和 AI 实战项目、简历优化、一对一提问和高频考点资料，已经持续维护六年。